采样（Sampling），指的是将连续时间信号用一组样本序列表示。它在生活中十分常见，比如电影是由一幅幅图像组成，这里图像就是样本；报纸由二维平面上的小点组成，这些小点也是样本；实现采样的过程可以多种多样，比如在老式相机中，打开光圈时，胶片上的化学物质就会被曝光；现代相机中的图像传感器会在很短时间内将接受到的光转换为电荷。

可见，采样需要某种形式的开关和存储功能。就电学领域而言，周期性冲激串定义了采样时刻并控制开关（继电器、BJT/MOS或雪崩器件等）。电学领域的存储媒质一般是线圈中的电流或电容中的电压信号，不过前者在实际中更多用在内燃机的点火电路中，超出讨论范围，我们主要关注后者。在讨论采样电路前，首先来了解一下采样的理论基础，这是本文的主题。

在数学中描述某个过程，我们通常会使用函数。采样也不例外，分析它会用到狄拉克函数δ(t)，该函数具有“筛选”或“采样”功能，即下式，

表明δ(t)函数可以“筛选”出函数f(t)在t=T的值，可以说δ(t)天然为采样而生。

有了上面的基础，现在回到信号采样。已知任一连续时间模拟信号x(t)被时间上等间隔（T_s）的冲激序列采样，得到离散时间信号x_s(t)（也叫采样信号）。数学上表示为，

公式右边求和运算就是等间隔冲激序列的数学表示，用p(t)表示。利用δ(t)的筛选性，上式化简为，

上面是采样信号的时域表示，图像上可能更加直观，如图1

现在我们来分析采样在频域中的表达，这是采样理论中的重点。对式（1.2）进行傅里叶变换就能得到采样信号在频域中的表达，由傅里叶变换的相乘性质可得，

而我们知道，时域中的冲激函数在频域中仍是冲激，即，

因此继续运用δ(ω)的筛选性，得到采样信号的频率表示，

这表明，采样信号在频域上表示为无穷多个原始信号频谱X(jω)的拷贝（copy），这些copy的频率间隔为ω_s（思考：这是否违反了能量守恒原则？），如图2。

通过分析并观察采样信号的频谱有我们得出下面结论，若原始信号x(t)为带限信号，带宽为B，则fs＞2B，频谱上的这些copies就不会交叠（overlap），原始信号就可用数字滤波完美恢复出来；若fs＜2B，则频谱交叠引起失真，就不能恢复出原始信号。我们通常把这里的overlap叫做混叠（aliasing），而限制模拟信号带宽小于采样率一半的analog filter被称为抗混叠滤波器（anti-aliasing filter）。也就是说，以采样率fs进行采样，如果要保证完整的信息（无丢失），则信号的最大频率（更准确地讲是带宽）为fs/2，这个频率/带宽为叫做奈奎斯特（Nyquist）频率/带宽f_N，即，

采样理论[1][2]

Nyquist理论陈述到，如果x(t)是带限信号，即当|f|＞f_N时，X(f)=0，那么当f_s=1/T_s＞f_N时，x(t)可唯一用它的采样样本x[n]=x(nT_s)进行表示。这里的f_N叫做Nyquist频率，而采样率fs=2f_N叫做Nyquist采样率。

上面就是（均匀间隔）采样的理论基础，是不是觉得还能接受，不是太难。下面就给出采样理论的描述：

写在本文最后，理论终究太过理想化，试问在实际中怎么产生冲激串？对带通信号的采样，采样和带宽又有怎样的关系？……这都是需要深入思考的问题。这里简单给一个结论，

实际中会使用采样保持（sample-and-hold, S/H）和跟踪保持（track-and-hold，T/H）的形式进行采样，理论上的区别是采样函数的不同，但三种形式下采样理论的陈述都是一致的。

此外，对带通信号的采样，采样率f_s和信号带宽B的关系如下[3]，

主要考虑是避免镜像信号与原始信号混叠而做出的约束。

参考文献

[1]A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing
[2] J.G. Proakis and D.G. Manolakis, Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications
[3] Proakis, et al. Digital Signal Processing, 4th edtion, chapter 6.4